Đùa với cái vô hạn: Rosa Peter-P1-HỌC TRÒ CỦA NHÀ ẢO THUẬT-1

Phần 1

HỌC TRÒ CỦA NHÀ ẢO THUẬT

1. Trò chơi với các ngón tay

pi_smallChúng ta hãy bắt đầu từ đầu. Tôi không có ý định viết về lịch sử toán học. Thật ra, tôi chỉ có thể làm được điều này dựa vào các tư liệu văn bản, mà các tư liệu đó lại rất xa với điểm khởi đầu thực sự. Hãy hình dung người tiền sử sống trong môi trường hoan sơ và bắt đầu đếm. Để giúp hình dung quá trình đó chúng ta hãy quan sát đứa trẻ nhỏ. Ta thấy đứa bé làm quyen với thế giới và đồng thời với thân thể của mình trong khi chơi với 10 ngón tay bé nhỏ. Rất có thể khi nó nói “một”, “hai”, “ba”, “bốn”, thì các từ chỉ là rút gọn của ý nghĩa phức tạp hơn: “người này đi săn”, “người này nhìn thấy con thỏ”, “người này bắn nó”, “người này quay nó trên xiên”,… Điều khẳng định của tôi có vẽ như chính xác, vì có một bác sĩ cho tôi biết rằng có những bệnh bị tổn thương não không thể phân biệt các ngón tay của mình và điều này luôn gắn với việc anh ta không biết đếm. Suy ra rằng việc gắn kết  này – thực hiện một cách vô thức – được bảo tồn liên tục ngay cả ở những người văn minh. Theo ý kiến của tôi, một trong những nguồn gốc của toán là mong muốn được chơi của con người và chính vì lẽ đó toán học không chỉ là khoa học mà ở mức độ nào đó nó là nghệ thuật.

Ngày nay, người ta nghĩ rằng khởi đâu của việc đếm mang tính tiện ích. Có thể những người tiền sử đếm những bộ lông thú để biết tài sản của mình. Nhưng cũng có giả thuyết cho rằng việc đếm là một nghi thức thần bí nào đó, điều này cũng có phần có lí vì ngày nay những người mắc bệnh mất ngủ thường sử dụng việc đếm với dạng công thức logic để xua đuổi các ý nghĩ không được phép, chẳng hạn chỉ cho phép nghĩ đến điều gì đó chỉ sau khi đếm từ 1 đến 20. Tóm lại, cho dù nói đến các bộ lông thú hay khoảng thời gian liên tiếp, việc đếm luôn luôn mang nghĩa: từ cái đã có làm thêm một bước nữa. [XemTiep…]

Với việc đếm chúng ta có thể đi ra khỏi giới hạn 10 ngón tay và nhận được sáng tạo toán học tuyệt vời đầu tiên của con người, đó là dãy vô vạn: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,… được gọi là dãy số tự nhiên. Nó vô hạn bở vì rằng dù số lớn thế nào đi nữa, luôn có thể đếm được bằng cách thêm 1 đơn vị vào trước đó. Để nhận được dãy này cần thể hiện mức độ trừu tượng hóa cao, bởi vì các số chỉ là cái bóng của hiện thực. Ở đây, chẳng hạn số 3 không chỉ ba ngón tay, ba quả táo, ba nhịm tim,… mà là cái chung của cả ba đồ vật này là số lượng các đồ vật được trừu tượng hóa. Các số rất lớn không phải là trừu tượng của hiện thực vật chất, bởi vì rằng không có người nào có thể nhìn thấy hàng triệu quả táo hoặc đếm được hàng triệu nhịp tim. Các số này có thể được con người hiểu chỉ bằng sự tương tự với các số nhỏ, lấy từ hiện thực, nhờ sự tưởng tượng mà chúng ta có thể đếm càng ngày càng xa, vượt giới hạn các số biết đến.

Con người không bao giờ chán việc đếm. Nếu như không phải cái gì khác, thì chính niềm vui của sự lặp lại không làm cho chúng ta buồn chán. Các nhà thơ biết rõ cảm giác này, sự quay trở lại liên tục với cùng một nhịp điệu, cùng âm thanh – đó chính là biểu hiện cuộc sống. Cũng như vậy, một đứa trẻ nhỏ không biết chán chơi đùa với quả bóng;  với một người lớn đang trong tâm trạng chán chường thì việc bắt quả bóng là công việc chẳng có gì thú vị,  trong khi đứa trẻ có thể ném quả bóng liên tục cho anh ta không biết mệt.

Chúng ta đã đi đến số 4? Sẽ đếm tiếp tục thêm đơn vị nữa! Thêm 1! Và 1 nữa! chúng ta tới đâu rồi? Tới số 7. Chúng ta cũng có thể đến 7, nếu ngay lập tức thêm 3 đơn vị. Và đây chúng ta phát minh ra phép cộng: 4+1+1+1=4+3=7

Bây giờ hãy tiếp tục tiêu khiển bằng dạng đếm này: thêm 3 vào số 3 rồi thêm 3 nữa và lại 3 nữa! Ở đây ta thêm 4 lần số 3, có thể nói ngắn gọn rằng bốn lần số 3 được 12. Điều này được viết bằng kí hiệu sau: 3+3+3+3=3.4=12

Hoạt động này được gọi là phép nhân.

Một khi trong chúng ta đã xuất hiện niềm vui của sự lặp lại, khó lòng mà dừng lại được, bởi vì chúng ta vẫn có thể tiêu khiển tiếp tục bằng phép nhân. Nhân số 4 với 4 và một lần nữa với 4:

4.4.4=64

Sự lặp lại này, “phép lặp” của phép nhân được gọi là nâng lên lũy thừa. Người ta nói rằng trong trường hợp này “cơ số” là số 4, còn “số mũ” được chỉ ra bằng chữ số nhỏ viết cao hơn về viết về bên phải số 4, chỉ ra bao nhiêu số 4 cần nhân:

43=4.4.4=64

Rõ ràng các kết quả là các số ngày một lớn: 4.3 lớn hơn 4+3, còn 43 lại lớn hơn 4.3. Sự lặp lại thú vị này cuốn hút chúng ta ngày một xa hơn, tới các số lớn. Còn nếu thực hiện lặp lại phép nâng lên lũy thừa, thì còn đi xa hơn nữa. Chẳng hạn, nếu từ đầu chúng ta nâng số 4 lên lũy thừa 4, thì nhận được:

44=4.4.4.4=256

Còn bây giờ nếu nâng 4 lên lũy thừa 44

44^4=4256=4.4.4…

Thì việc tiếp tục sẽ khó khăn cho chúng ta, bởi vì cần viết 256 lần số 4, sau đó thực hiện phép nhân. Kết quả sẽ được một con số khổng lồ, cho nên tốt hơn cả là hãy khôn ngoan: loại phép nâng lên lũy thừa khỏi dãy các phép toán thông thường của chúng ta dù dãy phép toán lặp có thú vị đến thế nào đi chăng nữa! Tôi có cảm tưởng rằng có thể khẳng định điều sau: trí óc của con người bị cuốn hút bởi tất cả các hình ảnh mà anh ta có thể tưởng tượng ra, nhưng chỉ giữ lại những gì mà sau khi đã có những cân nhắc chín chắn và thừa nhận hợp lí.

Phép cộng, phép nhân và phép nâng lên lũy thừa tỏ ra khá hữu ích trong cuộc sống của chúng ta, do đó chúng xứng đáng nhận được “quyền công dân” trong toán học. Tất cả những tính chất đã được phát hiện, làm giảm nhẹ công việc thực hiện: chẳng hạn, 7.28 được tính là 7 lần lặp lại phép cộng với 28, nhưng cũng có thể tính bằng cách khác là tách số 28 thành tổng của các số hạng 20 và 8, sau đó nhân từng số hạng với 7. Tính các tích 20.7 và 8.7 hoàn toàn đơn giản và cuối cùng việc thực hiện các phép cộng 140 và 56 cũng không có gì khó khăn. Khi cần phải cộng các dãy số dài, nên biết rằng sự thay đổi thứ tự các số hạng không làm thay đổi kết quả cuối cùng. Chẳng hạn nếu cộng 8+7+2, có thể viết hành như sau: 8+2=10, còn 10 và 7 dễ dàng cộng với nhau. Như vậy chúng ta tránh được phép cộng 8+7 không mấy dễ chịu. sau khi suy nghĩ ta thấy rằng việc thực hiện phép cộng không có gì khác hơn là đếm, thật vậy, xuất phát từ một số, đếm tiếp theo bằng số đơn vị cần phải thêm vào số đầu tiên và khi đó trở nên rõ ràng rằng kết quả không thay đổi khi đổi thứ tự các số hạng. Khẳng định này vẫn đúng đối với phép nhân, nhưng nó kém hiển nhiên hơn, vì 4.3 có nghĩa là 3+3+3+3, còn 3.4 có nghĩa là 4+4+4 và tất nhiên rằng tự nhiên thì không rõ vì sao 3+3+3+3=4+4+4.

Nhưng nếu chúng ta vẽ hình thì khẳng định trên đây trở nên hiển nhiên. Ta hãy vẽ 4 lần bộ ba điểm ., xêp nhóm nọ dưới nhóm kia như sau:

Khi đó rõ ràng là nếu ta vẽ 3 lần bộ bốn điểm xếp thẳng đứng mỗi bộ như hình sau:

.

.

.

.

thì nhận được cùng một kết quả. Suy ra, 4.3=3.4,  đó chính là lí do vì sao các nhà toán học gọi chung “số nhân” và “số bị nhân” là các “thừa số”.

Bây giờ ta xét một trong những luật nâng lên lũy thừa: 4.4.4.4=45. Số mũ của kết quả chính là số 5, tức là 3+2, suy ra, có thể nhân hai lũy thừa của 4 vơi nhau bằng cách cộng các số mũ của chúng.

Chẳng hạn: 54.52.53=5.5.5.5.5.5.5.5.5=59 và ở đây 9 bằng 4+2+3.

Nhìn lại quãng đường vừa trải qua, có thể thấy rằng phép đếm dẫn chúng ta tới một phép toán. Một cách tự nhiên, độc giả có thể đưa ra câu hỏi: Vậy phép trừ đâu rồi? Còn phép chia nữa? Nhưng các hoạt động đó không gì khác hơn là phép toán ngược của các phép toán trên (cũng như việc khai căn và tìm logarit). Chẳng hạn, 20:5 có nghĩa là đã biết trước kết quả của một phép nhân nào đó bằng 20 và bây giờ tìm số nào đó mà nhân lên 5 lần thì được 20. Trong ví dụ vừa xét có thể dễ dàng tìm được số đó, bởi vì 5.4=20. Nhưng không phải điều đó lúc nào cũng dễ thực hiện, có thể xảy ra là nó không tồn tại. Chẳng hạn nếu yêu cầu chia 23 cho 5, thì không thể thực hiện phép chia không dư, bởi rằng 4.5=20, nhơ hơn 23, còn 5.5=25 lớn hơn 23. Bởi vậy cần phải chọn số nhỏ hơn và nói rằng: trong 23 có 5 lần 4 và còn dư 3. Tất nhiên phép toán này đòi hỏi nhiều suy luận hơn so với phép lặp thú vị ở trên. Thông thường các phép toán ngược bao giờ cũng khó hơn. Do vậy chúng là nguồn gốc của những đề tài yêu thích của các nghiên cứu toán học. Nhưng ta biết rằng nhà toán học chân chính là người luôn tìm thấy cảm hứng từ những khó khăn. Do vậy, tôi sẽ còn phải quay lại với các phép toán ngược ở phần sau.

Trích Đùa với cái vô hạn của Rosa Peter NXBGD phát hành 2008

Advertisements

2 phản hồi

  1. Chào bạn , bạn có cuốn sách này không,nếu đc thì mua hộ hoặc pho to gửi cho mình nhé . có gì liên hệ với với qua email trên .
    Cảm ơn bạn nhiều .:)

    • Chào bạn, rất tiếc là bây giờ mình đã về quê, không còn ở Cần Thơ nữa.
      Nơi mình hiện sống, là ở một xã cận vùng sâu. Nên có lẽ không có điều kiện giúp bạn mua sách rồi.
      Còn về photo thì khó khăn hơn nữa. Vì ở đây chi phí rất đắt đỏ.

      Bạn thử lên mạng tìm ở các nhà sách lớn xem sao. Nếu có, bạn hãy đặt hàng online, họ sẽ gửi cho bạn.
      Thân!

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Đăng xuất / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: